５ 微分法・積分法
1 微分係数と導関数
例題 １ 平均変化率
関数 f ()=−2+3 について， の値が次のように変化するときの平均変化率を求めよ．
⑴ =−1 から =3 まで ⑵ =a から =b まで 解 ⑴ f (3)−f (−1)
3−(−1) = 6−6
4 =0
⑵ f (b)−f (a) b−a =
b−2b+3−(a−2a+3)
b−a =
(b−a)−2(b−a) b−a
=(b+a)(b−a)−2(b−a)
b−a =a+b−2
１
次の関数 f () について， の値が( )内のように変化するときの平均変化率を求めよ．⑴ f ()=3−2+1 (=−1 から =3 まで) ⑵ f ()=−2+3 (=1 から =4 まで)
⑶ f ()=−2 (=−2 から =2 まで) ⑷ f ()=+3 (=1 から =3 まで)
２
次の関数 f () について， の値が a から b まで変化するときの平均変化率を求めよ．⑴ f ()=3+1 ⑵ f ()=2−+1
⑶ f ()=+2 ⑷ f ()=−3−1
３
次の関数 f () について， の値が a から a+h まで変化するときの平均変化率を求めよ．⑴ f ()=−+3+2 ⑵ f ()=−3
例題 ２ 関数の極限① 次の極限値を求めよ．
⑴ lim
(4+1) ⑵ lim
(−5+2−1) 解 ⑴ lim
(4
+1)=4⋅2+1=17
⑵ lim
(−5+2−1)=−5⋅(−1)+2⋅(−1)−1=6
４
次の極限値を求めよ．⑴ lim
(
−1) ⑵ lim
(2
+3+4) ⑶ lim
(2
+5−+1)
⑷ lim
(10
−2−7) ⑸ lim
(
−+2) ⑹ lim
(−
+5+2−1)
●ポイント
① 関数 f () において， が a から b まで変化するときの平均変化率は，曲線 =f () 上の 2 点 A(a，f (a))，B(b，f (b)) を結ぶ直線 AB の傾きを表している．
O 2 1
1
¥
≈
¥=≈-1
≈2-1 例題 ３ 関数の極限② (不定形)
次の問いに答えよ．
⑴ 関数 =
−1
−1 のグラフをかけ． ⑵ lim
−1
−1 を求めよ．
解 ⑴ 1 のとき，=(+1)(−1)
−1
=+1
=1 のとき，関数の値は定義されない． よって，グラフは右図のようになる．
⑵ lim
−1
−1 =lim
(+1)(−1)
−1
=lim
(+1)=1+1=2
５
次の問いに答えよ．⑴ 関数 =
−3+2
−2 のグラフをかけ． ⑵ lim
−3+2
−2 を求めよ．
６
次の極限値を求めよ．⑴ lim
−9
+3 ⑵ lim
2−−1
−3+2 ⑶ lim
+5+4
−1
⑷ lim
2+−6
3+4−4 ⑸ lim
2−5−12
3−11−4 ⑹ lim 3
3+1−3
例題 ４ 関数の極限③ lim
+a+2b
−2 =5 …①が成り立つように定数 a，b の値を定めよ．
解 2 のとき，(①の分母) 0 であるから，①の左辺が有限確定となるためには，
2 のとき，(①の分子) 0 でなければならない． ゆえに，lim
(
+a+2b)=2a+2b+4=0 より，b=−a−2 …②
②を①に代入して極限値を a で表すと，
lim
+a−2a−4
−2 =lim
(−2) (+a+2)
−2
=lim
(+a+2)=a+4 a+4=5 より，a=1 これと②より，a=1，b=−3
７
次の関係が成り立つように定数 a，b の値を定めよ．⑴ lim
+2a+b
+3+2 =2 ⑵ lim
−
+a+b= 1 3
●ポイント
① 関数 f () において， が a と異なる値をとりながら限りなく a に近づくとき，f () が一定の値 α に限りなく近づくならば， a のとき f () α，または lim
af ()=α と書き，α を が a に近づくときの関数 f () の極限値という．
例題 ５ 微分係数
関数 f ()=+2−1 の =2 における微分係数を求めよ． 解 f '(2)=lim
f (2+h)−f (2) h =lim
(2+h)+2(2+h)−1−7 h =lim
h+6h h
=lim
(h+6)=6
〔注〕 関数 =f () の =a における微分係数 f '(a) は，平均変化率 f (b)−f (a)
b−a の，b a のときの極限値で，lim
f (b)−f (a)
b−a と表すこともできる． f '(2)=lim
f (b)−f (2) b−2 =lim
b+2b−8 b−2 =lim
(b+4)(b−2)
b−2 =lim(b+4)=6
８
次の関数の( )内に与えられた の値における微分係数を求めよ．⑴ f ()=5+2 (=1) ⑵ f ()= (=2)
⑶ f ()=−+2 (=1) ⑷ f ()=3−2+1 (=−1)
⑸ f ()= (=−2) ⑹ f ()=−2 (=1)
例題 ６ 導関数の定義
関数 f ()=2−3+1 の導関数 f '() を定義に従って求めよ． 解 f '()=lim
f (+h)−f () h
=lim
2(+h)−3(+h)+1−(2−3+1) h
=lim
4h+2h−3h
h =lim(4+2h−3)=4−3
９
次の関数の導関数を定義に従って求めよ．⑴ f ()=3−5 ⑵ f ()=2− ⑶ f ()=3
⑷ f ()=−3+2 ⑸ f ()=+ ⑹ f ()=
10
関数 f ()=c (定数) の導関数を定義に従って求めよ．11
次の関数の導関数を定義に従って求めよ．⑴ f ()=1
⑵ f ()=
●ポイント
① 関数 f () の a から a+h までの平均変化率 f (a+h)−f (a)
h において，h を限りなく 0 に近づけ たとき，この平均変化率がある値に限りなく近づくならば，その極限値を「関数 f () の =a にお ける微分係数」といい，f'(a) で表す．
② f '(a)=lim
h0
f (a+h)−f (a) h =limba
f (b)−f (a) b−a
例題 ７ nの導関数 次の関数の導関数を求めよ．
⑴ f ()= ⑵ f ()=
解 下のポイント③を使って求める．
⑴ f '()=2=2 ⑵ f '()=4=43
12
次の関数の導関数を求めよ．⑴ f ()= ⑵ f ()=
⑶ f ()= ⑷ f ()=
例題 ８ 微分の計算① 次の関数を微分せよ．
⑴ f ()=+2−1 ⑵ f ()=+4−5+2 解 下のポイント⑤の公式を使って微分する．
⑴ f '()=()'+(2)'−(1)'=()'+2()'−(1)'
=2+2⋅1−0=2+2
⑵ f '()=()'+(4)'−(5)'+(2)'=()'+4()'−5()'+(2)'
=3+4⋅2−5⋅1+0=32+8−5
13
次の関数を微分せよ．⑴ f ()=3−4+5 ⑵ f ()=−4+3−1
⑶ f ()=3−2+4−1 ⑷ f ()=−5+−5+3
⑸ f ()=32−1
2+3 ⑹ f ()=
1 3−
5 4+
2 5
14
次の関数を微分せよ．⑴ f ()=6−2+−1 ⑵ f ()=−3+2−+12−1
⑶ f ()=−3+7−3+5 ⑷ f ()=+++1
⑸ f ()=+5+13+23 ⑹ f ()=−7+8−11+15−1
●ポイント
① 関数 f () について， のおのおのの値 a に微分係数 f '(a) を対応させてつくった 1 つの新しい 関数を，f () の導関数といい，f'() で表す．
② 関数 f () の導関数 f '() は，f'()=lim
h0
f (+h)−f ()
h で求められる．
③ f ()=の導関数は，f'()=nn−1 f ()=c (定数) ならば，f'()=0
④ 導関数を求めることを微分するという．関数 =f () の導関数を表す記号としては，f '() のほ かに，'，d
d， d
df () などが用いられる．
⑤ 〔導関数の公式〕
{kf ()}'=kf'() {f ()+g()}'=f'()+g'() {f ()−g()}'=f'()−g'()
例題 ９ 微分の計算② 次の関数を微分せよ．
⑴ =(−2) ⑵ =(2+1) ⑶ =(2+1)(−1) 解 ⑴ =−6+12−8 より，'=32−12+12
⑵ =8+12+6+1 より，'=242+24+6
⑶ =2−−1 より，'=4−1
〔別解〕 下のポイントの公式(数学Ⅲの学習事項)を用いて微分する．
⑴ '=3(−2)2 ⑵ '=3⋅2(2+1)=6(2+1)2
⑶ '=(2+1)'(−1)+(2+1)(−1)'=2(−1)+(2+1)⋅1=4−1
15
次の関数を微分せよ．⑴ =(−4) ⑵ =(+1)
⑶ =(+3) ⑷ =(−1)
⑸ =(+1)(−3) ⑹ =(3−1)(+2)
⑺ =(2+3)(4−1) ⑻ =(+1)(+3)
⑼ =(+1)(+2) ⑽ =(+1)(−1)
16
次の関数を，下のポイントの公式を用いて微分せよ．⑴ =(+3) ⑵ =(3−1)
⑶ =(+)(2−3) ⑷ =(+1)(3+2)
例題 10 微分係数の計算
次の関数の( )内に与えられた の値における微分係数を求めよ．
⑴ f ()=3−5−4+2 (=−1) ⑵ f ()=−2 (=2) 解 ⑴ f '()=9−10−4 より，f '(−1)=9⋅(−1)−10⋅(−1)−4=15
⑵ f '()=4−6より，f '(2)=4⋅2−6⋅2=8
17
次の関数の( )内に与えられた の値における微分係数を求めよ．⑴ f ()=+4 (=−3)
⑵ f ()=2 (=1)
⑶ f ()=4−+5−2 (=−1)
⑷ f ()=3+−3+2−4 (=2)
18
次の関数の( )内に与えられた の値における微分係数を求めよ．⑴ f ()=(3−2) (=1) ⑵ f ()=(4+1) (=−1)
●ポイント
① 〔導関数の公式〕
{(+a)n}'=n(+a)n−1 {(a+b)n}'=na(a+b)n−1
{f ()g()}'=f'()g()+f ()g'()
例題 11 微分係数の応用
関数 f ()=+a+2b−c について，f (−1)=4，f '(1)=−1，f '(−2)=2 であるとき，定数 a，b，c の値を求めよ．
解 f (−1)=4 より，−1+a−2b−c=4 よって，a−2b−c=5 …① f '()=3+2a+2b
f '(1)=−1 より，3+2a+2b=−1 よって，a+b=−2 …② f '(−2)=2 より，12−4a+2b=2 よって，2a−b=5 …③
②，③より，a=1，b=−3 ①より，c=2
19
次の問いに答えよ．⑴ 関数 f ()=a−+b について，f (2)=3，f '(1)=3 であるとき，定数 a，b の値を求めよ．
⑵ 関数 f ()=−a++b について，f (1)=4，f '(2)=5 であるとき，定数 a，b の値を求めよ．
⑶ 関数 f ()=a+2−b+c について，f (2)=0，f '(−1)=−8，f '(2)=−5 であるとき，定数 a，b，c の値を求めよ．
⑷ 関数 f ()=a+b+3 について，f (2)=15，f '(1)=5 であるとき，定数 a，b の値を求めよ．
例題 12 速度と加速度
数直線上を運動する点P の時刻 t 秒における座標 (t) が，(t)=10t−tで表されている．こ のとき，次の問いに答えよ．
⑴ 時刻 t 秒における動点 P の速度 v(t) と加速度 α(t) を求めよ．
⑵ 時刻10 秒における動点 P の速度と速さを求めよ．
⑶ 動点P が運動の向きを変える時刻は何秒か．
⑷ 動点P が t=0 に原点を出発して，再び原点にもどるのは何秒後か． 解 ⑴ v(t)='(t)=10−2t，α(t)=v'(t)=−2
⑵ 時刻10 秒における速度は，v(10)=−10 速さは，v(10)=−10=10
⑶ v(t)=10−2t の符号が変わるときである．v(t)=0 より，10−2t=0，t=5 よって，求める時刻は5 秒．
⑷ (t)=10t−t=0 より，t(t−10)=0 t>0 より，t=10 よって，10 秒後．
20
数直線上を運動する点P の時刻 t 秒における座標 (t) が，(t)=t−9t+24t で表されている． このとき，次の問いに答えよ．⑴ 時刻 t 秒における動点 P の速度 v(t) と加速度 α(t) を求めよ．
⑵ 時刻3 秒における動点 P の速度，速さ，加速度をそれぞれ求めよ．
⑶ 動点P が運動の向きを変える時刻は何秒か．
●ポイント
① 位置が (t) で表されるとき，速度 v(t)，加速度 α(t) は，v(t)='(t)，α(t)=v'(t) で求められる．
② 速さは速度の絶対値，すなわち，v(t) である．
混 合 問 題
Ａ
１
１
関数 f ()=−3+2−+1 について， の値が −2 から 1 まで変化するときの平均変化率 を求めよ．２
２
次の極限値を求めよ．⑴ lim
(4−3) ⑵ lim
2−3−9
−5+6 ⑶ lim
+2−1 2+−1
３
３
lim
a−7+b
+−2 =−1 が成り立つように定数 a，b の値を求めよ．
４
４
次の関数を微分せよ．ただし，⑵で a，b，c は定数とする．⑴ f ()=−5+3−2 ⑵ f ()=−a+b+c
⑶ f ()=−3+6+7+1 ⑷ f ()=(−1)(+2)(+3)
５
５
次の式を[ ]内の文字について微分せよ．⑴ πr [r] ⑵ 4
3πr [r] ⑶ 1
3πrh [r] ⑷ 1
2(a+b)h [a]
６
６
関数 f ()=a+b−2+c について，f (−1)=8，f (2)=−1，f '(−2)=−22 であるとき，定数 a，b，c の値を求めよ．Ｂ
７
７
f '(a) が存在するとき，次の極限値を f '(a) で表せ．⑴ lim
f (a+2h)−f (a)
h ⑵ lim
f (a+5h)−f (a−3h) h
８
８
次の2 つの条件を満たす関数 f () を求めよ．㋐ f (−1)=1 ㋑ (2+1)f '()=4f ()−3
９
９
軸上に 2 個の動点 P，Q があり，時刻 t における P，Q の座標はそれぞれ t−2t+2t， 3t−9t+8t である．2 点が t=0 に原点を出発してから，はじめて出会うときの P，Q の速度をそ れぞれ求めよ．■ヒント ７
７ 定義にもどって考える．lim
f (a+2h)−f (a) h =lim
f (a+2h)−f (a)
2h ⋅2 (h → 0 2h → 0) ８
８ f () の最高次の項を a(a0，n は自然数) とおき，㋑において両辺の最高次の項の係数が一 致することから考える．また，f () が定数関数のときを別に考える必要がある．
章 末 問 題 Ａ
１
１
１
f ()=+3のとき，lim
f (a+3h)−f (a)
h を求めよ．
２
２ ２
2 つの曲線 =+a，=+b+c はともに点 (1，2) を通り，さらにこの点で共通の接線を もつという．定数 a，b，c の値を求めよ．３
３ ３
関数 f ()=+a+(a+6)+1 が極大値，極小値をともに <0 でとるような定数 a の値の範 囲を定めよ．４
４
４
関数 f ()=−6+9 (0≦≦a) の最大値，最小値とそのときの の値を求めよ．ただし， a>0 とする．５
５ ５
方程式−12+10=k が異なる 6 個の実数解をもつような定数 k の値の範囲を定めよ．６
６
６
関数 f ()=−4a+2(a+1)が極大値をもつような定数 a の値の範囲を定めよ．７
７ ７
次の条件を満たす関数 f ()，g() をそれぞれ求めよ．f (0)=1，g(0)=0，{2f ()+g()}'=4+2，{f ()−g()}'=2+4
８
８ ８
f (1)=1，f (−2)=4 を満たす 2 次式 f () のうち，
{f ()}d を最小にするもの，および，そ の最小値を求めよ．
９
９ ９
2 つの放物線 =…①，=−4+8 …②について，次の問いに答えよ．⑴ ①と②の共通接線の方程式を求めよ．
⑵ ⑴で求めた共通接線と①，②で囲まれた図形の面積を求めよ．
10
10 10
関数 f ()=
t−tdt の最小値を与える の値を求めよ．
11
11
11
連立不等式 ≧−3，≧0，≦0 で表される領域を D とする．D を直線 ℓ：=m によって 2 つの部分に分け，ℓ の下側の部分の面積を S，ℓ の上側の部分の面積を Sとする．S：S=1：3 のとき，定数 m の値を求めよ．
章 末 問 題 Ｂ
１
１ １
１
１
次の①，②，③を満たす整式 f () のうち，次数が最も低いものを求めよ． lim
f ()
−1=4 …① lim f ()
−2=−3 …② lim f ()
−3=12 …③
２
２ ２
２
２
関数 f ()=−6a+3a+5 (a0) において，(極大値)−(極小値) の値が 32 になるとき，定 数 a の値を求めよ．３ ３ ３
３
３
関数 f ()=−a (−1≦≦1) の最大値が最も小さくなるような定数 a の値を求めよ．ただ し，a<3 とする．４ ４ ４
４
４
2 曲線 =，=−++k が異なる 4 本の共通接線をもつような定数 k の値の範囲を定めよ．５ ５ ５
５
５
4 次方程式 3−4a−6+12a+b=0 が異なる 4 個の実数解をもつような点 (a，b) が存在 する領域を ab 平面上に図示せよ．６
６ ６
６
６
次の等式をともに満たす関数 f ()，g() を求めよ． f ()=+
(t+)g(t)dt，g()=
f (t+)+g(t)+2
dt７
７ ７
７
７
p>0 とする．関数 f ()=2p1
tdt− の最大値，最小値を求めよ．
８
８ ８
８
８
曲線 =を C，曲線 =+p (p<0) を Cとする．⑴ C上の任意の点から Cに，つねに2 本の接線が引けることを示せ．
⑵ ⑴のとき，2 本の接線と Cで囲まれた図形の面積は一定であることを示せ．
９ ９ ９
９
９
曲線 =−9 を Cとし，C上の− 3 << 3 の部分に点 P をとる．また，頂点を P とし， 放物線 =3を平行移動して得られる曲線を Cとする．次の問いに答えよ．ただし，必要ならば，
(−α)(−β)(−γ)d= 1 12(γ−α)
(2β−α−γ) を用いよ．
⑴ C，Cはつねに異なる3 つの点で交わることを示せ．
⑵ C，Cで囲まれた2 つの部分の面積が等しいとき，Cの方程式を求めよ．
1 1 10 0 0
10
10
放物線 =を C，中心が第1 象限にあり，Cと 軸に接し，半径が 12 の円を Cとする．
⑴ Cの中心の座標を求めよ．
⑵ C，Cと 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
